K rozvoju matematiky v Descartových časoch najviac prispela pošta

Na príbehu teórie pravdepodobnosti môžeme vidieť, čo zásadným spôsobom ovplyvnilo vývoj matematiky v Európe v priebehu 17. storočia – bola to pošta. Ak sa jeden človek trápil s nejakým problémom, mohol spísať svoje myšlienky na papier a poslať ich niekomu ďalšiemu.

Ten ďalší priniesol nový pohľad. Každý list posunul problematiku o kúsok vpred. Listy sa nedržali v tajnosti. Práve naopak, cieľom akademických diskusií, ktoré prostredníctvom nich prebiehali, bolo, aby sa čítali a aby sa o ne delilo s ostatnými.

V priebehu 17. a začiatkom 18. storočia sa tak v Európe a v oboch Amerikách rodili nové intelektuálne komunity s bohatou sieťou vedeckých kapacít. Neskôr dostalo toto hnutie prezývku „republika listov“.

Vďaka podpore panovníkov začali v Európe vznikať učené spoločnosti. Kráľovskú spoločnosť v Londýne založili v roku 1663. Jej súčasťou sa stali najväčšie mozgy, ktorých cieľom bolo experimentovať, budovať a rozširovať ľudské poznanie. Francúzsku Akadémiu vied otvorili v Paríži v roku 1666. Jej členovia sa stretávali dvakrát týždenne a publikovali vedecké práce na tému matematiky, fyziky, chémie a biológie. Časom si vyslúžila povesť akademickej autority. Učené spoločnosti vznikali aj v ďalších veľkých európskych mestách, napríklad v Berlíne, Bologni či Ríme.

Vznik podobných akadémií zmenil spôsob, ako sa robila matematika. Vedci si aj naďalej posielali listy, no nové dôkazy a vety už museli mať odobrenie akadémie. Prvé recenzné konania mali podobu diskusie medzi vedcami, ktorí občas nové zistenia mohli aj odmietnuť. Až po takejto debate výsledky zverejnila akadémia. Boli to začiatky profesionalizácie matematiky a vedy vôbec – aj keď len pre jednu časť spoločnosti.

Súčasťou takejto spoločnosti ste sa mohli stať len v prípade, že vás podporil niektorý z existujúcich členov. Hoci nikto nikdy oficiálne nezakázal vstupovať do spolkov aj ženám, v skutočnosti sa to dialo niekoľko storočí. Do Kráľovskej spoločnosti v Londýne zvolili prvú ženu v roku 1947. Bola ňou kryštalografka Kathleen Lonsdale. Francúzskej Akadémii vied to trvalo až do roku 1979, keď bola za jej členku zvolená matematička Yvonne Choquet-Bruhat.

Nástup salónov v 17. storočí ženám mierne zjednodušil cestu do matematickej komunity. Salóny boli vlastne stretnutia intelektuálov. Často sa odohrávali u niekoho doma. Zameriavali sa na konkrétnu oblasť s cieľom zvýšiť úroveň poznania o konkrétnej téme prostredníctvom diskusie a neobmedzenej výmeny myšlienok. Ženy boli tak v postavení hostiteliek, ako aj pozvaných. Nápad organizovať takéto stretnutia vznikol v Taliansku, no skutočne sa rozvinul až v Paríži, kde bohaté ženy predvádzali zbierky rôznych zaujímavých predmetov, ako vzácne knihy, hodinky či vedecké prístroje.

Prírodovedecký kabinet bol vtedy v móde. V takomto prostredí sa muži a ženy z aristokratickej vrstvy rozprávali ako seberovní, vďaka čomu získali ženy možnosť rozvíjať svoje akademické záujmy a podieľať sa na vedeckej diskusii. Rovnaká situácia v období renesancie vznikla aj na panovníckych dvoroch. Stretávali sa tu aristokrati aj aristokratky, usadili sa tam, kde bolo voľné miesto, no mužov bývalo spravidla viac ako žien.

Išlo len o prvé krôčiky a s dnešným štandardom sa to nedá ani porovnať. No ich výsledkom bola generácia vzdelaných aristokratiek, ktoré mohli prispievať do vedeckej diskusie. Zapojenie do debaty zbúralo predstavu, že ženy sú jednoducho neschopné pochopiť matematiku. Práve naopak, ich prítomnosť mala zásadný vplyv na rozpoznanie a zjednodušenie najdôležitejších matematických objavov tých čias.

Princezná Alžbeta Falcká sa narodila v roku 1618, teda v roku, keď vypukla tridsaťročná vojna. Všetko sa to začalo ako odpor protestantov v habsburskom Rakúsku, ktorí vyhnali katolíckeho kráľa. Dôsledkom bolo, že Alžbetin otec Fridrich V. bol zvolený za českého kráľa. Spoločne s Alžbetinou matkou Alžbetou Stuartovou, dcérou anglického kráľa Jakuba I. (v Škótsku Jakub IV.), sa Fridrich v roku 1620 presťahoval do Prahy. Išlo o signál, že prichádzajú nové časy politickej stability, ktorá spojí anglických a kontinentálnych protestantov.

Fridrichovu vládu zo začiatku podporovala spriaznená aristokracia. No v momente, keď zistili, že Jakub I. nesúhlasí s tým, aby jeho zať prijal českú korunu, a teda nebude mať jeho podporu, Fridrich o svojich spojencov prišiel. Keďže české stavy nemohli rátať so žiadnou pomocou a podporou anglického kráľa, rozhodli sa hľadať nové spojenectvá. Zhruba po roku tak Fridrich prišiel o trón. Pre krátkosť vlády sa stal známy ako zimný kráľ.

Zosadený panovník bol prinútený ujsť. Jeho manželka Alžbeta sa musela skrývať. Keď sa napokon usadil v Haagu (vtedy pod nadvládou Španielov, dnes súčasť Holandska) a dostal tam aj zvyšok rodiny, vytvoril tzv. exilový dvor. Politiku ovládol chaos a v regióne vypukla vojna. Zo začiatku to zasiahlo iba južnú časť Nemecka, no konflikt napokon prerástol do plnoformátovej vojny medzi Dánskom a Švédskom, odkiaľ sa napokon rozšírila aj na sever Nemecka. Onedlho sa pridali Holandsko a Francúzsko, ktoré cítili šancu, keď videli slabnúť Habsburgovcov.

Napriek búrlivému obdobiu bola Alžbeta ako príslušníčka kráľovského rodu chránená a osobní učitelia jej poskytli kvalitné vzdelanie. Pre jej vynikajúcu úroveň gréčtiny ju súrodenci prezývali „La Grecque“. Výborne sa orientovala vo filozofii. Okrem toho študovala maľbu, hudbu, tanec, latinčinu, francúzštinu, angličtinu a nemčinu. A matematiku. V tejto oblasti ju vzdelával tútor princa Viliama Oranžského a polyhistora Christiaana Huygensa Jan Stampioen. Alžbeta zbožňovala učiť sa nové veci až do takej miery, že sa sama naučila pitvať malé zvieratá.

Haag bolo ideálne miesto pre člena kráľovskej rodiny túžiaceho po vedomostiach. Združovali sa tu najvýznamnejší myslitelia tých čias. Alžbeta začala v šestnástich rokoch organizovať debaty na exilovom dvore. Práve tam sa prvýkrát stretla s Reném Descartom.

Descartes sa narodil v strednom Francúzsku v roku 1596. V dospelosti veľa cestoval a udržiaval kontakty s kráľovskými dvormi a vojenskými hodnostármi. Jeho cieľom bolo „stretávať sa s ľuďmi rôzneho temperamentu a rôznych hodností, zhromažďovať rozmanité skúsenosti a sledovať, ako budem zvládať situácie pripravené osudom“. Takto to napísal v Rozprave o metóde, filozofickom a autobiografickom traktáte publikovanom v roku 1637, kde sa nachádza aj jeho najznámejšia veta: Je pense, donc je suis (Myslím, teda som). Hoci si to dnes mnohí neuvedomujú, Descartes mal na matematiku taký obrovský vplyv, že bez jeho diela by dnes vyzerala celkom inak.

Hovorí sa, že Descartes ležal na posteli na chrbte a premýšľal o komplikovanom geometrickom probléme ešte z čias antického Grécka. Popritom sledoval, ako mucha lozí po kazetovom strope nad ním. Problém spočíval v tom, že bolo treba nájsť súbor bodov, ktoré splnia niekoľko jednoduchých podmienok: ak máme dve priamky L1 a L2, dva uhly θ1 a θ2 a pomer R, treba nájsť všetky body P tak, aby sa d1/d2=R s tým, že d1 a d2 vytvoria čiary, ako môžeme vidieť nižšie.

Diagram nútil Descarta, aby uvažoval o tom, ako čo najlepšie vyjadriť tento problém. Samozrejme, mohol ho narysovať. Ale existoval aj iný spôsob? Ako tak premýšľal, mucha vzlietla z jedného štvorca na strope a pristála na inom. Po chvíľke spravila to isté. Descartes si uvedomil, že ak chce určiť miesto, kde sa mucha nachádza, môže na to využiť kazetový strop, ktorý bude tvoriť mriežku. Ak bude prvý štvorec považovať za nulu, tak mucha sa pohla o a štvorcov v horizontálnom smere a o b štvorcov vertikálne.

Tento príbeh sa pravdepodobne nezakladá na pravde, no aj napriek tomu nám ukazuje, ako sa dá aj čosi také zložité ako pohyb muchy vyjadriť matematicky. Nech to už bolo akokoľvek, Descartes si uvedomil, že ak bude o priestore uvažovať ako o mriežke, bude môcť geometrické pozície a útvary vyjadriť pomocou algebry.

Tie tzv. „karteziánske súradnice“ znamenali zásadný zlom v matematike. Sústava predstavovala most medzi algebrou a geometriou, vďaka čomu sa problémy jednej oblasti dali vyjadriť jazykom druhej, čo znamenalo, že všetci mali k dispozícii dvojnásobný počet nástrojov na to, aby ich vyriešili. Pozrime sa napríklad na kružnice.

Matematici ich môžu narysovať, no vďaka Descartovej sústave sa kruhy dajú opísať aj za pomoci algebry. Odrazu sa tak dajú metódy algebry použiť na zodpovedanie otázok geometrie.

Descartova novinka sa stala takou integrálnou súčasťou matematiky, že si už ani nevieme predstaviť, ako by vyzerala bez nej. V čase vzniku ju však pochopilo iba zopár jednotlivcov. Francúzsky filozof Voltaire hovoril, že okrem Descarta existujú len dvaja ľudia, ktorí tomu rozumejú: Frans van Schooten v Holandsku a Pierre de Fermat vo Francúzsku. Možno mal pravdu, čo sa týka mužov, no určite tomu rozumela aj Alžbeta Falcká.

V roku 1642 mal Descartes po štyridsiatke a presťahoval sa do Haagu, kde sa nachádzala aj Alžbeta. Stretli sa na exilovom dvore a začali si vymieňať listy. Jeden z listov odhalil, že viedli rozsiahlu diskusiu o filozofii. Alžbeta chcela vedieť, prečo Descartes oddelil ľudskú „myseľ“ od „tela“. Napísala mu: „Prosím, povedzte mi, ako môže duša ľudskej bytosti (keďže je to iba mysliaca substancia) prinútiť životných duchov vykonať vôľovú činnosť?“

Descartes na to nemal jasnú odpoveď, a tak ďalej diskutovali o premýšľaní nad telom a mysľou.

Okrem toho viedli debaty aj o matematike. Descartes dokonca Alžbete poslal pomerne zložitý problém známy ako Apolloniova úloha. Veril, že tak odhalí nedokonalosti v metódach, ktoré používal jej učiteľ Jan Stampioen. Dvojica sa nemala v láske, lebo Stampioen publikoval knihu venovanú algebre. Descartes však mal pocit, že sa mu tým mieša do remesla. Alžbete napísal, že „nemá dobrý pocit“ z toho, že jej to poslal, lebo vôbec netuší, „ako by hoci aj anjel […] dokázal vyriešiť tento problém bez pomoci zázraku“. Descartov povýšenecký tón však nebol vôbec namieste. Alžbeta tú úlohu nielen vyriešila, ale dokonca to spravila pomocou dvoch rôznych metód.

Apolloniova úloha sa podobala tomu, o čom Descartes predtým uvažoval, no namiesto rovných čiar boli jej súčasťou kružnice. Zadanie znelo, že ak máme dané tri kružnice, musíme nájsť štvrtú, ktorá sa bude svojím obvodom dotýkať zvyšných troch.

Pri prvom riešení Alžbeta použila pravítko a kružidlo. Išlo o štandardné nástroje používané matematikmi po tisícky rokov. Vďaka pár šikovným trikom dokázala narysovať kružnicu dotýkajúcu sa ostatných troch. No išlo v podstate o náhodné riešenie. Určite teda muselo existovať aj lepšie, nie?

Alžbeta použila iný spôsob, na ktorom ešte ani poriadne neuschol atrament: Descartov vlastný systém súradníc. Spomeňte si, že kružnica s priemerom r sa dá opísať rovnicou. Alžbeta pri riešení Apolloniovej úlohy prišla na to, že stred (x, y) novej kružnice a jej polomer r sa vzťahujú na stredy a polomery ostatných troch kružníc takto:

(x – x₁)² + (y – y₁)² = (r + r₁)²

(x – x₂)² + (y – y₂)² = (r + r₂)²

(x – x₃)² + (y – y₃)² = (r + r₃)²

kde r₁, r₂ a r₃ označujú polomery troch daných kružníc a (x₁, y₁), (x₂, y₂) a (x₃, y₃) znamenajú ich stredy. Neznáme r, x a y zas opisujú štvrtú kružnicu.

Každý zo znakov + na pravej strane môže byť v skutočnosti buď plus, alebo mínus. Alžbeta a Descartes sa síce nezaoberali zápornými hodnotami, no ak ich vezmeme do úvahy, dostaneme osem sústav troch rovníc a každú z nich môžeme vyriešiť pomocou algebry, čím dostaneme hodnoty pre neznáme r, x a y. Inými slovami, geometrická úloha sa zmenila na algebrickú, vďaka čomu sa podarilo nájsť nielen jedno riešenie, ale rovno všetky.

Alžbeta bola evidentne talentovaná matematička. Descartes v roku 1644 vydal Princípy filozofie, kde rozoberal zákony fyziky, a venoval ich práve Alžbete: „Ste jediná osoba, ktorá dodnes pochopila celé moje predchádzajúce dielo.“

Princeznú fascinovala matematika aj veda všeobecne počas celého života. Pravidelne diskutovala a najbystrejšími mozgami svojej doby. Súčasťou jej rozrastajúcej sa intelektuálnej siete boli okrem iných holandská intelektuálka Anna Maria van Schurman, francúzska spisovateľka Marie de Gournay a írska vedkyňa Katherine Jones (známa aj ako lady Ranelagh). Na sklonku života sa Alžbeta presťahovala do opátstva v Nemecku a s priateľmi už viedla diskusie len prostredníctvom listov. No keď napokon umrela, prišli sa s ňou rozlúčiť mnohí jej priatelia intelektuáli.